Як правильно чекаю та чекаю?
Можливі обидва варіанти. Дієслова чекати і чекати можуть керувати і родовим (когось), і знахідним (когось) відмінком.
У чому різниця між чекати та чекати?
Він використовується для позначення конкретних, певних предметів. Для порівняння: чекати на телеграми (якоїсь) – чекати на телеграму (про яку відомо, що вона має прийти), чекати на перевірки (можливу) – чекати на перевірку (призначену, конкретну).